Proporciones y música

Las proporciones establecen relaciones de comparación entre entidades homogéneas, por ejemplo, entre números. Aplicadas a la música, se usan ya en la Grecia antigua. Podemos encontrar su terminología en teóricos musicales tan alejados entre sí en el tiempo como Aristoxeno, Arístides Quintiliano, Boecio o Francisco de Salinas.Su principio es la desigualdad. Con elementos iguales tenemos la identidad, pero con elementos desiguales puede haber distintos tipos de relación. Las proporciones más elementales relacionan dos elementos, que es el caso que hoy se comenta aquí porque ya ofrecen importantes usos en la música.

Si nos referimos a las proporciones aritméticas con dos términos hay que distinguir entre proporciones simples y compuestas. Las proporciones simples, a su vez, se dividen en tres: múltiple, superparticular y superpartiente.  Las proporciones compuestas se dividen en dos: múltiple superparticular y múltiple superpartiente.

Exponemos estos rudimentos de proporciones tomando primero el número mayor y luego el menor (desigualdad mayor), pero nada impediría hacerlo al revés (desigualdad menor).

Proporciones simples

La proporción múltiple es aquella en la que el número mayor contiene al menor dos o más veces sin que sobre nada. Puede ser doble, triple, cuádruple etc. Ejemplos: 4:2, 9:3, 8:2. Se leería 4 es a 2, etc.

La proporción superparticular es aquella en la que el número mayor contiene al menor una vez y sobra una parte alícuota o numerativa del número menor. Si sobra 1/2, se llama sesquiáltera; si sobra 1/3, sesquitercia, etc. Ejemplos de lo dicho: 3:2, 4:3.

La proporción superpartiente es aquella en la que el número mayor contiene al menor una vez y sobran dos o más partes alícuotas del número menor. Si sobran dos partes se llama superbipartiente; si tres, supertripartiente, etc. Para indicar que esas partes sobran respecto al número menor, se suele construir expresiones como “superbipartiente tercias”, o “supertripartiente quintas”, etc. Ejemplos: 5:3, 8:5.

Proporciones compuestas

Múltiple superparticular. En cuanto múltiple, el número mayor contiene al número menor dos o más veces. En cuanto superparticular, sobra una parte del número menor. Ej: 5:2, donde el 5 contiene dos veces al 2 y por eso es múltiple dupla, sobrando ½ del número menor, lo que la sitúa como múltiple superparticular sesquiáltera.

Múltiple superpartiente. En cuanto múltiple, el número mayor contiene al número menor dos o más veces. En cuanto superpartiente, sobran dos o más partes del número menor. Ej: 8:3, donde el 8 contiene dos veces al 3 y por eso es múltiple dupla, sobrando 2/3 del número menor, lo que la define como múltiple superbipartiente tercias.

Algunos usos musicales

Interválica pitagórica

Para los pitagóricos, el número es el principio que explica todo. Los elementos de la tetraktys o número cuaternario suman 10, que es el número perfecto, un “receptáculo” donde, siguiendo con Porfirio, se halla “toda diferencia numérica, toda clase de razonamiento y toda proporción”.

Por todo ello, la tetraktys adquirió un sentido sagrado, a modo de amuleto pitagórico. Refiere Porfirio que, de hecho, la utilizaban siempre en sus juramentos, a la vez que invocaban a Pitágoras “como a un dios”. De este modo:

“no, por el que a nuestro linaje otorgó el número cuaternario,

porque éste posee como fundamento la fuente de la perenne naturaleza”. 

El empleo de las proporciones está indisolublemente unido a la teoría interválica pitagórica.

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En la tratractys o número cuaternario, podemos encontrar las siguientes relaciones:

2:1, diapasón (8ª);

3:2, diapente (5ª);

4:3, diatesarón (4ª);

3:1, diapasón con diapente (8ª con 5ª);

4:1, disdiapasón (doble 8ª);

4:2, diapasón (8ª). 

Nótese que el diapasón con diatesarón no puede derivarse de la tetractys porque la suma de ambos intervalos (multiplicando las fracciones 2/1. 4/3) da 8:3, que es múltiple, dupla superbipartiente tercias. Boecio explica lo alejada que está esta proporción (y las superparrtientes en general) de las proporciones múltiples y superparticulares, que son todas las demás citadas. Situación problemática sólo por el peso de la teoría, pues es obvio acústicamente que, si la cuarta es consonante, lo seguirá siendo, aunque se le añada una octava,

Interpretación con proporciones de un pasaje bíblico

Nos referimos a la destrucción de Sodoma y Gomorra según lo interpreta la escritora mexicana del siglo XVII sor Juana Inés de la Cruz. Esta religiosa sostiene que la música sirve para comprender muchas otras disciplinas, incluso que es útil para la exégesis bíblica. El número de justos que Dios exige que haya en las ciudades del llano va bajando de 50 a 10 (50, 45, 40, 30, 20, 10). Esto implica, simplificando, las proporciones 10:9, 9:8, 4:3, 3:2 y 2:1, o sea, el tono menor y el tono mayor de Ptolomeo y luego la cuarta, la quinta y la octava. Ya hedescrito esta jugosa historia en el blog, así que a ella remito desde esteenlace.

Notación proporcional

La notación blanca del Renacimiento utiliza un sistema proporcional para todo lo relacionado con la medida. Mediante números y signos diversos se indica al intérprete que allí donde antes cantaba una semibreve en tiempo íntegro (por poner un ejemplo), ha de cantar dos cuando aparece la indicación de la proporción dupla. Y así sucesivamente. Eso produce el resultado de que cada una de las semibreves proporcionadas, por estar en proporción dupla, valen exactamente la mitad. De este fenómeno nos queda el compás binario o “alla breve”.

El caso más elemental lo tenemos en el siguiente ejemplo de Tinctoris, de fines del siglo XV.

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A la derecha, en la voz del tenor, tenemos una ligadura con propiedad opuesta que indica dos semibreves. El medio círculo que hay después de la clave es el signo de tiempo imperfecto. Por tanto, podríamos cantar o transcribir la ligadura de dos semibreves como dos blancas en compás binario. Pero en el fragmento de la izquierda, que es el contrapunto correspondiente, vemos el signo de tiempo imperfecto partido, que significa proporción dupla. Por esta razón, la semibreve del comienzo habría que interpretarla a la mitad de su valor, lo mismo que la mínima siguiente y de igual modo en lo sucesivo. En otras palabras, habría que cantar o transcribir la semibreve como negra (y la mínima como corchea, etc.) para que ese fragmento encaje con el valor asignado a las figuras del tenor, que están en tiempo “íntegro”.

Este ejemplo es de una gran simplicidad, pero cuando uno echa un vistazo a los manuscritos que contienen música francoflamenca, se encuentra con cosas admirables en este género de música proporcional.

También se emplean proporciones en asuntos de métrica poética greco-latina, construcción de instrumentos y en algunos otros aspectos, lo que pone de relieve la fascinación que han ejercido los números en el género humano y muy especialmente cuando aparecen relacionados con la música.

Ilustración de portada: ejemplo de proporciones de Glareanus, Dodecachordon